…Tengo un problema que se me planteó !! y que no tengo idea como resolver..!! - Martha de Bogotá-Colombia…

¿?..Tengo una Pirámide con una base triangular de 3cmx4cmx5cm (Triángulo Rectángulo) y con altura 7 cm...Necesito hallar el área total de la pirámide...El triángulo tiene varios apotemas ?...Cada apotema corresponde a la mitad de las alturas ?...Lo que he hecho es lo siguiente: Sé hallar el área del triángulo...Con esto se encuentran alturas...No estoy segura pero... para hallar cada apotema tomo la mitad de cada altura ?...Después, tomo cada apotema de la base, y con la altura de la pirámide encuentro el apotema de cada lado de la pirámide...Así entonces, puedo hallar el área de cada lado...y sumo todas las áreas y me da el área total… Deseo confirmar si lo que estoy planeando es cierto o no...Mil Gracias.

· · Realmente tu problema, es un juego gráfico muy interesante, y se trata de entender los conceptos básicos de la geometría plana: Mediana, Apotema y Altura de Cara…pero aplicados en forma tridimensional ¡!...hay que empezar por determinar “O” centro de la base ABC (Ortocentro), y es muy sencillo, usando solo dos medianas cualquiera: AS, BT, CU…(revisa la perspectiva isométrica adjunta); luego se trazan los apotemas OX, OY, OZ…para definir los triángulos rectángulos de semisección de la pirámide, es decir, XOV, YOV, y ZOV, que comparten un cateto común, que corresponde al eje de dicha pirámide…ya que las hipotenusas de cada triángulo o semisección VX, VY, VZ…corresponden a las alturas de cara de cada triángulo envolvente del sólido…abatimos pues, cada uno de estos triángulos envolventes, es decir los construimos en verdadero tamaño, tomando como bases cada una de las aristas del triángulo ABC, y llevando las alturas de dichas caras, por los extremos X, Y, Z de cada apotema correspondientemente; se obtienen así, los verdaderos tamaños de cada cara, o sea, los triángulos AVB, BVC, AVC…se calculan las áreas individuales de los cuatro triángulos (debes incluir también la base ABC)…las sumamos, y obtenemos así el Área Total del Sólido: 4846.10 mm2 ..!! SALUDOS...visita este enlace, que te puede ampliar más el tema: http://www.geoka.net/geometria/apotema.html

RECTA en el ESPACIO – Cuadrilátero MNPQ..!!

Tenemos ahora, en esta oportunidad...una interesante experiencia, que combina elementos de la Descriptiva tradicional con algunos de la Geometría Plana; ambas en un atractivo ejercicio mental de lógica y habilidad técnica...de esto se trata la materia....acometer y resolver estos acertijos, sin solución aparente..!! Se involucran además, los siguientes conceptos teóricos: a) Teorema de Thales de Mileto, b) Razón y Proporción, b) Verdadero Tamaño, c) Direcciones y Propiedades de la Recta y e) Lugares Geométricos…La figura a proyectar, se refiere a una sucesión de puntos, que en el espacio, si forman un plano..!! mira el siguiente video pincha este URL... http://www.youtube.com/watch?v=hZGbKWRKjt4 ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

RECTA en el ESPACIO – Hexágono Espacial..!!

…Esta es otra experiencia similar al Pentágono Espacial anterior.. es una interacción entre rectas notables y puntos notables de ellas.. y consiste en aplicar los conocimientos adquiridos hasta ahora, mediante el uso, comprensión e interpretación de procedimientos teóricos encadenados de aquellos aspectos que hemos visto en forma aislada: a) Puntos Notables, b) Verdadero Tamaño, c) Direcciones y Propiedades de la Recta, etc…La figura a proyectar, se refiere a una sucesión de puntos, que en el espacio, no forman una figura plana o que, al menos, un punto no pertenece al mismo plano; sino que, más bien es una especie de poligonal alabeada o “montaña rusa”, que hay que ir atando, mediante conceptos teóricos.!!…mira el siguiente video pincha este URL... http://www.youtube.com/watch?v=WUcYEDWvH-s ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

RECTA en el ESPACIO – Rectas Notables..!!

.. Otro de los aspectos fundamentales de la materia…son las rectas notables..es decir, rectas que tienen una posición especial en el espacio, pueden ser paralelas o perpendiculares a los planos de proyección y bisectores; y tienen que ver con los valores de los ángulos Alfa al PHP y Beta con el PVP..tres preguntas principales debemos respondernos: 1) Cómo se ven las proyecciones, 2) Cuánto valen Alfa y Beta y, muy primordial..3) Dónde se ve su verdadero tamaño…estos son conceptos cruciales a la hora de resolver los ejercicios.!! … mira el siguiente video pincha este URL... http://www.youtube.com/watch?v=hawwgiRIpak ; http://www.youtube.com/watch?v=9tm3NBrplrw ; http://www.youtube.com/watch?v=pCy8xmd5JzA ; http://www.youtube.com/watch?v=zOHsV y http://www.youtube.com/watch?v=afza6vn5X4g ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

RECTA en el ESPACIO – Pentágono Espacial..!!

…Se trata de aplicar los conocimientos adquiridos hasta ahora, mediante el uso, comprensión e interpretación de procedimientos teóricos encadenados de aquellos aspectos que hemos visto en forma aislada: a) Puntos Notables, b) Verdadero Tamaño, c) Direcciones y Propiedades de la Recta, etc…La figura a proyectar, se refiere a una sucesión de puntos, que en el espacio, no forman una figura plana o que, al menos, un punto no pertenece al mismo plano; sino que, más bien es una especie de poligonal alabeada o “montaña rusa”, que hay que ir atando, mediante conceptos teóricos.!! mira el siguiente video pincha este URL... http://www.youtube.com/watch?v=g2HdMPY2o1Y ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

RECTA en el ESPACIO – Direcciones y Propiedades..!!

…Es sumamente importante en DPO, saber representar un segmento o recta en posiciones precisas y determinadas…en este primer video de este aspecto, explicamos el uso práctico del tema anterior, Verdadero Tamaño, asumiendo como herramienta auxiliar del ejercicio, un valor gráfico arbitrario para el segmento AB; construimos la circunferencia base y determinamos todos los parámetros de replanteo. Es necesario comprender el papel fundamental de los Lugares Geométricos en este procedimiento conocido como: Propiedades de la Recta..!! y para esto se deben conjugar siempre, tres valores gráficos: referencias en proyección vertical mediante el uso de mayor o menor cota, referencias en proyección horizontal empleando mayor o menor vuelo….finalmente, sentido derecho o izquierdo; de esta forma podemos dibujar las rectas con exactitud…debes poner atención especial en los vocablos o palabras que se usan para cada proyección o plano en particular...y luego, así podrás solucionar correctamente los ejercicios o problemas prácticos en descriptiva..!! mira el siguiente video pincha estos URL... http://www.youtube.com/watch?v=aCQ8xfoNKNE ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

RECTA en el ESPACIO – Verdadero Tamaño !!

…Una de las herramientas más importantes de la Descriptiva, es como se determina el Verdadero Tamaño de un segmento que está ubicado en forma oblicua a ambos planos de proyección o de referencia…se trata de un Triángulo Rectángulo (llamado también, Triangulo de Rebatimiento o de Abatimiento) y nos permite determinar además, el verdadero tamaño de los ángulos valen Alfa y Beta con los planos de proyección ...conociendo bien este aspecto vital, podemos deducir las Posiciones Particulares de las Rectas Notables, que también puedes revisar en los siguientes videos…de esta secuencia teórica..!! no lo pierdas de vista..!! mira el siguiente video pincha este URL... http://www.youtube.com/watch?v=7oyT1LTaWLo ...para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

Representación de Puntos en Doble Proyección Ortogonal..DPO !!..

...Son las primeras nociones o lecciones...de cómo representar datos o coordenadas en el sistema DPO..!!..acordémonos siempre..que la mayoría de los ejercicios se realizan en escala 1:1000…y que se miden directamente con un escalímetro o regla graduada..Inténtalo..es muy fácil..!! mira el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=WW6E7J1O9UU ... para ver más, Usa como buscador youTUBE: GEOMETRICA100 y te aparecerá el listado de todos nuestros videos..!!

...Estos son los Sólidos Regulares..!!

...Son los tres sólidos que se estudian académicamente..Tetraedro, Cubo, Octaedro..y si incluimos además el Dodecaedro e Icosaedro..se les llaman Sólidos Platónicos..!! las bases son siempre polígonos regulares y las alturas...SI TIENEN UNA RELACIÓN EXACTA, que se determina por medio de una Sección Principal..que es un plano de simetría, que como lo dice su nombre, divide al sólido en partes iguales siempre..!!

Octaedro - Sección Principal !!

..Sección Principal del OCTAEDRO - PROPIEDADES PROCEDIMIENTOS !!.. es muy fácil y sencillo.. por el frente de la hoja en una esquina (inferior, preferiblemente) o en la parte de atrás de tu trabajo, al centro de la hoja aprox., dibujamos con una regla o escuadra, un línea horizontal de 10 a 12 cms aprox..es arbitraria, no tiene medida..con el lápiz marcamos ambos extremos, y serán siempre vértices de un mismo eje: E-F, por ejemplo, dibujamos una mediatriz para hallar el punto medio de ese segmento, y será siempre el pto. O (Baricentro, centro geométrico del cuerpo)…dibujamos luego, la circunferencia que pase por ambos extremos y extendemos la mediatriz para que corte la curva..si, unimos los cuatro extremos obtenemos un cuadrado perfecto; que equivale a una sección diagonal o transversal de un octaedro con vértices ABCD (son 4 aristas)..si levantamos, de nuevo, otra perpendicular desde el centro O, a una de las aristas de ese cuadrado, obtenemos ptos. medios R o S, por ejemplo; ya que sobre las aristas AB y CD estarán entonces M y N, y dibujamos otra circunferencia menor de centro en O y radio OR..y sobre esta mediatriz con la nueva curva se hallan los ptos. M-N; uniendo de nuevo, los 4 extremos E,M,F y N obtenemos un rombo formado por 4 alturas de caras consecutivas, que es la sección principal de un octaedro arbitrario..!! con el verdadero tamaño de alguno de los elementos del ejercicio (arista, semiarista, altura del sólido o diagonal de cara, pto. O,etc.) aplicamos Homotecía..y ajustamos dicha sección ..al tamaño real del sólido del ejercicio.. dibujarla en línea gruesa para visualizarla mejor..!!

Hexaedro - Seccíon Principal !!

..Sección Principal del HEXAEDRO - PROPIEDADES PROCEDIMIENTOS ..realmente es muy fácil dibujarla.. por el frente de la hoja en una esquina (inferior, preferiblemente) o en la parte de atrás de tu trabajo, al centro de la hoja aprox., dibujamos con una escuadra o regla, un línea horizontal de 10 a 12 cms aprox..es arbitraria, no tiene medida..luego tomamos el compás con una apertura de de 3 o 4 cms (también de medida arbitraria)..hacemos primero una marca en un extremo con el lápiz, y sobre esta llevamos tres tramos consecutivos de compás..esto equivale a una altura del cubo, realmente dibujaremos la mitad de la sección de un hexaedro arbitrario o semejante; la sección principal de un cubo, es un rectángulo formado por dos aristas paralelas diagonalmente opuestas y dos diagonales de cara también paralelas y concurrentes con las aristas anteriores..luego, por una de las dos marcas interiores, no importa cuál, levantamos una perpendicular extendida (esta será nuestra altura de la semisección), también de 10 a 12 cms (no tiene medida) este punto elegido será siempre el pto. T (1/3 de la diagonal del cubo), y ambos extremos de dicha recta serán siempre vértices diagonalmente opuestos: A-G por ejemplo (o también B-H, C-F, D-E dependiendo de nuestro ejercicio); dividimos luego, por la mitad el tramo central, y será siempre el pto. O (centro del cubo)..haciendo centro en O, y con distancia a uno de los vértices extremos, dibujamos un arco de compás (o semicircunferencia)...y donde corta a la perpendicular, ahí tendremos el tercer vértice B, de la semisección..Unimos los tres extremos y tenemos un triángulo rectángulo..cuyo cateto menor, será siempre una arista; el cateto mayor, la diagonal de una cara; y la hipotenusa es la diagonal de cubo..es decir los tres elementos básicos de un Hexaedro Regular...y ya..teniendo así, la semisección principal de un cubo arbitrario..!! con el verdadero tamaño de alguno de los elementos del ejercicio (arista, semiarista, altura del sólido o diagonal de cara, pto. O,etc.) aplicamos Homotecía..y ajustamos dicha sección ..al tamaño real del sólido del ejercicio.. destacarla en línea gruesa para visualizarla mejor..!!

Tetraedro - Sección Principal !!

..Sección Principal del TETRAEDRO - PROPIEDADES PROCEDIMIENTOS ..realmente se construye muy fácil..por el frente de la hoja en una esquina (inferior, preferiblemente) o en la parte de atrás de tu trabajo, al centro de la hoja aprox., dibujamos con una regla o escuadra, un línea horizontal de 10 a 12 cms aprox..es arbitraria, no tiene medida..luego tomamos el compás con una apertura de de 3 o 4 cms (también de medida arbitraria)..hacemos primero una marca en un extremo con el lápiz, y sobre ésta llevamos tres tramos consecutivos de compás..esto equivale a una altura de cara de un tetraedro arbitrario o semejante..luego, por una de las dos marcas interiores, no importa cuál, levantamos una perpendicular extendida (esta será nuestra altura del sólido), también de 10 a 12 cms (no tiene medida) este punto elegido será siempre el pto. P (centro de cara), y el extremo más corto también elegido será siempre, el pto. W (pto. medio de una arista); después, haciendo centro con el compás en este extremo W, y con la medida total de nuestra línea base o altura de cara, giramos el compás hasta cortar la perpendicular extendida (altura del sólido), allí estará siempre el pto. D (vértice o pináculo del tetraedro)..el otro extremo de nuestra línea base, será siempre uno de los tres vértices de la base A,B o C dependiendo de nuestro ejercicio; finalmente, unimos los tres extremos...y ya..tenemos así, la sección principal de un tetraedro arbitrario que es un triángulo isósceles con dos alturas de cara y una arista..!! con el verdadero tamaño de alguno de los elementos del ejercicio (arista, semiarista, altura del sólido o de una cara, pto. O,etc.) empleamos Homotecía..y ajustamos dicha sección ..al tamaño real del sólido del ejercicio..resaltarla en línea gruesa para visualizarla mejor..!!

…Cómo dibujar la Sección Principal de un Sólido Regular..!!

...Se trata primero.. de conocer a cabalidad el poliedro como tal...caras, aristas, vértices, altura de cara o altura del sólido, puntos notables...y con esta breve explicación, seguro que la podrás realizar...

1. TETRAEDRO – 4 caras que son Triáng.Equiláteros: azul: 6 aristas/ 4 vértices/ rojo: altura de cara/ amarillo: altura del sólido/ negro: perpendicular común de dos aristas y al cortarse con la amarilla: altura del sólido, obtenemos el Baricentro o Centro Geométrico del cuerpo (Perla) y que es 1/4 de h-tetraedro; el corte de la amarilla y roja (1/3 de h-cara), nos da el centro de una cara (ortocentro).

2. HEXAEDRO (Cubo) – 6 caras que son Cuadrados: azul: 12 aristas/ 8 vértices/ rojo: diagonales de cara convergentes/ blanco: diagonales de cara divergentes/ amarillo: diagonal del cubo (diagonal interna o mayor)/ negro: perpendicular común de dos caras (altura del cubo) y al cortarse con la amarilla: diagonal mayor, obtenemos el Baricentro o Centro Geométrico del cuerpo (Perla) ) y que es 1/2 de d-cubo; verde: es altura de la semisección principal y corta a 1/3 la diagonal Mayor; el corte de la negra y blanca (1/2 de d-cara), nos da el centro de una cara (ortocentro).

3. OCTAEDRO (Bipirámide) – 8 caras que son Triáng.Equiláteros: azul: 12 aristas/ 6 vértices/ rojo: alturas de cara/ amarillo: ejes, alturas o diagonales del sólido (son perpendiculares entres si y miden exactamente igual)/ negro: perpendicular común de dos caras y al cortarse con una amarilla: ejes o alturas del sólido, obtenemos el Baricentro o Centro Geométrico del cuerpo (Perla) y que es 1/2 de cada diagonal; el corte de la negra y roja (1/3 de h-cara), nos da el centro de una cara (ortocentro).